Sistem
Sebuah sistem dapat didefinisikan sebagai suatu interkoneksi dari sekumpulan komponen
(dapat berupa piranti atau proses) dengan terminal-terminal atau port akses yang
dimilikinya sehingga beragam materi, energi, atau informasi dapat dimasukkan dan diberi
perlakuan olehnya.
•Contoh-contoh Sistem
1. Sebuah rangkaian listrik dengan input yang sebanding dengan tegangan dan/atau
arus dan memiliki output yang sebanding dengan tegangan atau arus yang mengalir
pada beberapa titik.
2. Sebuah sistem komunikasi dengan input sebanding dengan sinyal yang ditransmisi
dan dengan output sebanding dengan sinyal yang diterimanya.
3. Sebuah sistem biologi seperti alat pendengaran manusia (telinga) dengan input
sebanding dengan sinyal suara yang masuk ke gendang telinga dan output sebanding
dengan rangsangan syaraf yang selanjutnya diolah di otak untuk pengambilan
keputusan informasi apa yang masuk.
4. Sebuah manipulator robot dengan inputsebanding dengan torsi yang diaplikasikan
ke robot dan output sebanding dengan posisi akhir salah satu lengannya.
5. Suatu proses pembakaran minyak, dengan inputnya berupa banyaknya bahan bakar
yang masuk dan output sebanding dengan panas yang dihasilkannya.
6. Proses manufaktur, dimana input sebanding dengan bahan mentah yang
dimasukkan dan outputnya berupa jumlah barang yang diproduksinya.
• Tipe Model Matematik
Ada dua tipe dasar pada model matematik.
Pertama adalah representasi input/output yang menggambarkan hubungan sinyal input dengan sinyal output.
Kedua adalah state (keadaan) atau internal model yang menggambarkan hubungan diantara sinyal input, keadaan, dan sinyal output pada suatu sistem.
2.2. Klafisikasi Sistem
Sistem Waktu Kontinyu
Sistem Waktu Diskrit
• Sistem Waktu Kontinyu
Penggambaran sistem waktu kontinyu selalu berkaitan dengan bentuk representasi matematik yang mengambarkan sistem tersebut dalam keseluruhan waktu dan berkaitan dengan penggunaan notasif (t).
Rangkaian RC dapat dilihat sebagai suatu sistem waktu kontinyu single-input single-output dengan inputx (t) sebanding dengan arusi (t) yang selanjutnya mengalir ke sambungan paralel dan outputy (t) sebanding dengan tegangan c (t)pada kapasitor.
Output y(t)adalah posisi mobil pada waktu t relatif terhadap suatu titik referensi.
Input x(t)merupakan gaya yang diberikan pada mobil pada saat t.
• Sistem Waktu Diskrit
Penggambaran sistem waktu disktrit berkaitan dengan pengambilan sampel pada waktu-waktu tertentu dari sistem yang biasanya dengan penggunaan notasif[n].
Contoh Sistem Waktu Diskrit
Suatu sistem pembayaran pada pinjaman uang di bank dapat dimodelkan sebagai sebuah sistem waktu diskrit dengan cara sebagai berikut.
Dengan n = 0,1,2,…,input x[n] adalah sebagai besarnya pembayaran perbulan yang dilakukan untuk bulan ke-n.
Output y[n] adalah kondisi balans pinjaman setelah bulan ke-n.
Indek n menandai bulan, input x[n], dan output y[n] merupakan fungsi sinyal waktu diskrit yang merupakan fungsi dari parametern. Kondisi awal y[0] ditetapkan sebagai besarnya pinjaman yang diberikan oleh bank.
Biasanya, pembayaran pinjaman x[n] adalah konstan, dalam hal ini x[n]= c,
dengann = 1,2,3,…dancmerupakan konstanta.
Dalam contoh ini, x[n] diberi kebebasan sebagai nilai yang bervariasi dari
bulan ke bulan.
Terminologi (I/12)y[n-1] dalam persamaan (2-7) adalah interest pada pinjaman dalam bulan ke-n.
Persamaan ini merupakan persamaan diferensial linear orde 1.
2.3. Sifat-Sifat Dasar Sistem
Untuk dapat mempelajari lebih jauh tentang suatu sistem, dapat dipelajari menggunakan teknik yang tergantung pada sifat dasar dari sistem
tersebut
Kausalitas
Linearitas
Time Invariant
Pembahasan kita disini difokuskan pada sistem single-input single-output dengan inputx(t)dan outputy(t).
Dengan anggapan bahwa respon outputy(t)pada sistem
dihasilkan dari inputx(t)tanpa energi awal.
• Kausalitas
Suatu sistem dikatakan sebagaikausalataunon-anticipatoryjika
untuk suatu nilai t1 , respon output y(t1) pada waktu t1 dihasilkan
dari input x(t) tidak tergantung pada nilai input x(t) untuk t>t 1.
Contoh:
Pertimbangkan sebuah sistem waktu kontinyu yang memiliki
hubungan input/output sebagai berikut:
y(t) = x(t+1) (2-8)
Coba anda klasifikasi, apakah sistem ini kausal?
Penyelesaian:
Sistem ini non kausal jika nilaioutput y(t) pada suatu waktu t tergantung pada input di waktu x(t+1).
Non kausalitas dapat juga dilihat dengan mempertimbangkan respon sistem untuk input detik ke suatu pulsa 1-detik seperti ditunjukkan pada Gambar 2.8a.
Dari hubungan y(t) = x(t+1) dapatdilihat bahwa output yang dihasilkan dari pulsa input seperti pada Gambar 2.8b.
Sinyal output muncul sebelum sinyal input diberikan, sehingga dalam hal ini sistem dapat dikatagorikan sebagai sistem non-kausal.
Sistem dengan hubungan input/output y(t) = x(t+1) disebut sebagai ideal predictor. Sebagian besar ahli fisika berargumen bahwa di dunia ini tidak ada prediktor yang ideal.
Contoh:
Pertimbangkan sistem yang memiliki hubungan input dan output seperti berikut:
y(t) = x(t-1) (2-9)
Apakah sistem ini merupakan sistem kausal?
Penyelesaian:
Sistem ini dapat dikatagorikan sebagai sistem kausal jika outputnya pada waktu t hanya tergantung pada nilai input saat waktu t-1.
Fakta menunjukkan bahwa delay sistem sebesar 1 detik untuk seluruh input merupakan kesepakatan nilai delay yang ideal (ideal time delay) untuk analisa sistem. Ada sejumlah teknik untuk membangkitkan delay waktu. Sebagai contoh, delay waktu diantara record dan head playback pada tape recorder dapat digunakan untuk membangkitkan delay waktu pada beberapa mili detik.
Dari persamaan tersebut diadapat nilai x(t) = 0 untuk semuat < t 1 , dimana t 1 adalah nilai positif integer bebas.
Kemudian x(l) = 0 untuk semua l < t 1 dan integral dalam persamaan (2-13) bernilai nol untuk t< t 1.
Sehingga untuk kasus ini y(t) = 0 untuk semua nilai t < t 1, sehingga rangkaian RC ini merupakan sistem kausal.
• Linearitas
Suatu sistem dikatakan additive jika untuk suatu input x 1 (t) dan x 2 (t), respon outputnya y(t) sebanding dengan jumlahan kedua input x 1 (t) dan x 2 (t).
Suatu sistem dikatakan homogen jika untuk suatu inputax(t)dan suatu nilai real skalara, respon outputnya adalah senilai a kalix(t). Dalam hal ini juga dibuat anggapan dasar bahwa energi awal sebelum input diberikan ke sistem adalah tidak ada.
Sebuah sistem adalah linear jika kedua sifat additive dan homogen dipenuhi.
Contoh :
Pertimbangkan sebuah rangkaian dengan diode ideal seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.10 berikut ini. Dalam hal ini outup y(t) merupakan tegangan yang melintasi resistor dengan resistansi R 2. Diode ideal merupakan suatu rangkaian hubung singkat ketika tegangan x(t) adalah bernilai positif, dan merupakan rangkaian terbuka jika tegangan x(t) bernilai negatif. Apakah rangkaian ini merupakan sistem linear?
Penyelesaian:
Dari gambaran rangkaian di atas kita dapatkan hubungan input/output sebagai berikut:
Jika input unit-step dikalikan dengan bilangan skalar –1, maka inputnya adalah –u(t), dengan persamaan (2-12) respon yang dihasilkan adalah nol untuk semua t >0.
Tetapi ini tidak sebanding dengan –1 kali respon u(t) yang diberikand engan persamaan (2-13).
Kondisi ini bukan bersifat homogen, dan tidaklah linear. Sehingga kita dapat pula menyatakan kalau sistem ini tidak additive.
Contoh:
Pertimbangkan sebuah sistem yang memiliki hubungan input/output sebagai berikut:
y(t) = x2 (t) (2-14)
Sistem ini dapat direalisasikan sebagai sebuah pengali sinyal apakah sistem ini linear?
Penyelesaian:
Sistem yang didefinisikan dengan persamaan (2-14) sering kali disebut sebagaisquare-law device.
Perlu dicatat bahwa sistem ini tidak memiliki memori.
Jika sebuah skalar a dan inputx(t)diberikan ke sistem, dengan persamaan (2-14) diperoleh respon untukax(t)adalaha 2 x 2 (t).
Tetapi a dikalikan dengan responx(t)tidak sebanding dengan ax 2 (t), yang secara umum tidak sama dengana 2 x 2 (t).
Sehingga sistem ini tidak homogen, dan bukan merupakan sistem linear.
• Time Invariant
Sebuah sistem dikatakan sebagai sistem time invariant jika stateawal dan input adalah sama, tidak masalah kapan waktunya diaplikasikan, outputnya selalu sama.
Contoh:
Sebuah sistem pembangkit sinyal sinus menghasilkan sebuah sinyal yang memiliki hubungan input/output sebagai berikut:
y(t) = sin (2πft/T +π/2 rad) (2-15)
Karena suatu hal, terjadi penundaan sinyal selama setengah periode (½T). Coba amati apakah sistem ini time invariant?
Penyelesaian:
Dari persamaan dasar sebuah sinyal sinus di atas untuk
x(t) = x(t- t 1 ) (2-16)
dimana t1 = ½ T.
Dalam implementasinya pada persamaan (2-16) diatas didapatkan sebagai berikut:
y(t-t 1 ) = sin (2πft/T +π/2 rad – t 1 )
= sin (2πft/T +π/2 rad –πrad)
= sin (2πft/T -π/2 rad)
2.4. Studi Kasus Sistem Recording Digital
Dalam pengertian sederhana, kata digital adalah untuk merepresentasikan sebuah nilai numerik dari sebuah referensi analog suatu besaran fisik tertentu. Digitasi punya arti sebagai langkah untuk mengkonversi suatu besaran analog menjadi sebuah nilai numerik. Sebagai contoh, jika kita merepresentasikan sebuah intensitas suara dengan angka-angka yang proporsional dengan intensitas, maka nilai analog dari intensitas itu telahditampilan secara digital. Akurasi konversinya tergantung pada jumlah nilai diskrit yang telah ditandai dan laju pengambilan sampel hasil pengukuran yang telah dibuat. Sebagai contoh, 4 tingkatan nilai numerik yang akan digunakan untuk merepresntasikan perubahan 4 amplitudo suara kurang akurat dibandingkan menggunakan 256 tingkatan nilai numerik. Dan laju pengambilan sampel pengukuran dengan 8konversi/dt kurang akurat dibanding jika kita menggunakan 8000 konversi/dt.
• Prinsip Digital Recording
Pada saat melakukan recording (perekaman) secara digital pada sinyal analog signal, konversi analog ke digital (A/D) akan mengambil sampel dari continuous time-amplitude menjadi discrete time-amplitude.
• Discrete Time
Nyquist theorem Dinyatakan bahwa jika sebuah sinyal informasi V(t) yang disampel tidak memiliki komponen frekuensi lebih tinggi dibanding fs/2 (dimana fs = 1/Ts), maka sinyal diskrit yang dihasilakan akan cukup representatif sebagai nilai tersampel V( nTs) pada waktu diskrit tn = nTs dimana n = ... -1, 0 , 1 , 2 , 3 ...
• Discrete Amplitude
Terminologi bit merupakan singkatan untuk binary digit dan dikatikan dengan dua kondisi pilihan (0 dan 1). Sehingga, suatu sistem digital hanya akan memiliki dua level 1 bit resolution.
Secara umum, logarithma basis 2 digunakan mengkonversi angka pada level quantisasi yang pas untuk nilai-nilai bit tersebut. Sebuah pirantidegan dua posisi stabil seperti sebuah relay atau flip-flop, dapat digunakan untuk menyimpan 1 bit N piranti dapat digunakan untuk menyimpan N bit informasi, karena total angka yang mungkin untuk menyatakan keadaan informasi adalah 2N dan adalah sebanding dengan log2 (2N) = N bits ( Shannon, 1949/1975).
Sehingga untuk 4 levels dinyatakan sebagai 2 bit, 8 adalah 3 bit, 16 adalah 4 bit, dst. Untuk suatu N-bit A/D atau D/A converter
No. of levels = 2N
N = 8 No. of levels = 256
N = 12 No. of levels = 4,096
N = 16 No. of levels = 65,536
N = 20 No. of levels = 1,048,576
Sistem Recording/Processing Digital
Kedua sumber noise [N1(t), N2(t)] ditambahkan untuk menghindari distorsi digital pada signal V(t) terhadap coherent noise ND(t).
Pemilihan yang tepat pada N1(t) dan N2(t) dapat menghilangkan koherensi pada ND(t)
(digital noise) dengan sinyal V(t).
