SISTEM LINIER - Sinyal sinusoidaL

SINYAL SINUSOIDAL...
 Gelombang sinus atau sinusoid adalah fungsi matematika yang berbentuk osilasi halus berulang. Fungsi ini sering muncul dalam ilmu matematika, fisika, pengolahan sinyal, dan teknik listrik, dan berbagai bidang lain.

 

 Gambar 2.1. (a) bentuk gelombang tegangan sinusoida. (b) Spektrum  dari gelombang sinusoida

 

 Gambar 2.1. (c) Bentuk-gelombang persegi; (d) Spektrum frekuensi dari gelombang persegi; (e) Suatu gelombang persegi yg berisi tegangan dc positif; (f) Spektrum frekuensi.

Sebagal alternatjf, bila titik-asal (origin) waktu-nol dimulai pada 0‘ (Lihat gambar 2.1.a) dan bukannya pada 0, maka gelombang itu dapat dilukiskan oleh

v = V_max cos (2π f t)                                                              (2.2)

Karena pilihan titik asal waktu adalah sembarang (arbitrary), maka pilihan untuk melukiskan gelombang dengan sinus atau kosinus biasanya tidak penting.

Spektrum dari gelombang sinusoida adalah hanya suatu garis lurus dengan tiniggi V dan ditempatkan pada frekwensi f pada sumbu frekuensi, seperti terlihat dalam Gambar 2.1(b). Spektrum amplitudo tidak memperhitungkan apakah gelombang itu direpresentasikan oleb sinus atau kosinus. Suatu grafik sudut fase/frekuensi yang terpisab dapat diperlihat kan bila informasi mi diperlukan.

2.2. Gelombang-gelombang periodik yg komplek

Setiap bentuk gelombang yang bukan gelombang sinus atau kosinus, yang berulang kembali pada setiap selang waktu yang teratur (regular interval) dinamakan gelombang berulang kompleks (complex repetitive wave). Periode T, dimana gelombang berulang, disebut waktu periodik (periodic time). Contoh sinyal seperti ini adalah bentuk gelombang persegi/kotak, gelombang segitiga, dll. Spektrum untuk setiap gelombang periodik kompleks dapat diperoleh dengan metoda matematis yang dikenal sebagai analisis Fourier. Menurut Yoseph Fourier, setiap gelombang komplek dapat diurai menjadi gelombang-gelombang sinus/kosinus, dimana jika gelombang2 tadi dijumlahkan maka akan menghasilkan bentuk gelombang komplek. Gelombang persegi yang ditunjukkan dalam Gambar 2.1 (c) dapat direpresentasikan dengan deret Fourier (Fourier series),

Deret tersebut mempunyai jumlah suku (termin) yang tak-berhingga banyaknya, tetapi dapat dilihat bahwa amplitudo masing-masing suku mengecil sebanding dengan 1/n. Terlihat juga bahwa deret itu hanya mengandung harmonisa-harmonisa ganjil (yaitu, unsur-unsur pada frekuensi f, 3f, 5f dan seterusnya). Spectrum untuk gelombang persegi  ditunjukkan dalam Gambar 2.1(d).

Harus dipahami dengan jelas bahwa spektrum tersebut bukan hanya sekedar cara lain (matematis) untuk melukiskan suatu gelombang. Di dalam gelombang persegi, misalnya, komponen gelombang-gelombang kosinus (secara fisik) sama nyatanya dengan bentuk-gelombang waktu aslinya dan benar-benar dapat disaring keluar dengan menggunakan filter-filter yang selektif terhadap frekuensi-frekuensinya. Gambar 2.2. memberikan gambaran bahwa penjumlahan dari beberapa komponen gelombang dg frekwensi f, 3f, 5f, akan menghasilkan gelombang yg mendekati bentuk gelombang persegi, digambarkan dengan garis putus-putus.

Gambar 2.2. Hasil penjumlahan 3 buah komponen sinusoida mendekati bentuk gelombang persegi

            Gelombang pada Gambar 2.1.(e) adalah gelombang hasil penjumlahan gelombang pada gambar 2.1.(c) dengan sinyal DC (sinyal dg frekwensi nol), sinyalnya seperti dinaikkan keatas. Spektrum frekwensi bertambah, dg munculnya komponen pada frekwensi nol, lihat gambar 2.1.(f). Komponen frekuensi-nol ini tidak lain adalah nilai rata-rata, atau nilai ‘dc’ dari sebuah bentuk gelombang, dan adalah juga nilai yang akan terbaca pada suatu volt meter, seperti misalnya sebuah multimeter kumparan-bergerak (moving coil meter). Setiap bentuk gelombang yang luasnya tidak simetris terhadap sumbu waktu, pasti akan mernpunyai komponen frekuensi-nol (sinyal DC).

Rentetan pulsa-pulsa persegi yang tenlihat dalam Gambar 2.3 (a) mempunyai spektrum seperti dalam Gambar 2.3 (b). Bentuk mi mempunyai sebuah komponen frekuensi nol dan mengandung baik harmonisa-hanmonisa genap maupun ganjil (jadi, komponen komponen pada frekuensi f, 2f, 3f, 4f, dan seterusnya, di mana f = I/T.

 2.3. Efek Bandwidth yg terbatas pada sinyal

             Bandwidth yg terbatas dapat terjadi karena 2 hal, pertama memang medium transmisinya memiliki jangkauan frekwensi yang terbatas. Kedua, secara sengaja dibatasi oleh filter, karena tujuan tertentu. Untuk dapat mengetahui efek bandwidth yang terbatas pada jaringan transmisi, kita dapat membayangkan sebuah sinyal listrik yang mempunyai frekwensi spectrum (kandungan frekwensi) yang banyak dan amplitudonya A. Seperti telah dinyatakan sebelumnya bahwa setiap fungsi periodic dapat diwakili oleh sejumlah fungsi sinusoidal sederhana (analisis fourier). Setiap fungsi dg periode T (frekwensinya f = 1 / T) dapat dianggap sebagai jumlah fungsi sinus yang frekwensinya merupakan kelipatan integral dari f.

 Fungsi yang dibicarakan ini diwakili oleh serangkaian komponen sinusoidal (spectrum) dg amplitude yang berbeda (semakin turun dg naiknya frekwensi) pada frekwensi f, 2f, 3f dan seterusnya, ini yang disebut sbg Harmonisa / Harmoni. Bila sebuah Biola digesek dan memancarkan frekwensi natural (aslinya/alaminya) 200 Hz, maka dia akan mempunyai frekwensi harmoni pada frekwensi 400 Hz, 600 Hz, 800 Hz dan seterusnya, dimana besar amplitudonya  A_n semakin mengecil dg naiknya frekwensi, amplitudonya sangat kecil pada frekwensi Harmonisa yang tinggi.

            Bila kita ingin mengirim sinyal asli tadi persis suara aslinya, maka kita harus mentransmisikan semua harmonisa tadi. Jika kita tidak mentransmisikan semua frekwensi Harmonisa tadi (karena alasan bandwidth yg terbatas) maka sinyal yg ada hanya merupakan pendekatan saja dari sinyal aslinya. Nada biola tadi akan sangat terdengar nyata jika direproduksi pada perangkat hi-fi yang frekwensinya berjangkauan sampai 18.000 Hz. Tapi jika sinyal biola ini dikirim melalui saluran telepon yang bandwidthnya adalah 3 kHz, bisa dipastikan suara asli biola akan hilang, suara yg terdengar nyaris bukan suara biola, karena banyak frekwensi Harmoninya yang tidak terkirim.

            Hal yang sama juga terjadi pada transmisi data, jika kita hanya memiliki bandwidth yang terbatas dan kita ingin mengirim data dg laju bit yg maksimal, maka kita tidak dapat mengirim semua frekwensi Harmoninya. Ingat ketika mengirim data Bit faktanya kita mengirim pulsa kotak, dan pulsa kotak memiliki kandungan frekwensi harmonisa yg komplek (lihat paragraph 2.2), satu pulsa kotak pada hakekatnya dihasilkan oleh penjumlahan sinyal sinusoida dg frekwensi f, ditambah frekwensi harmoni 3f, 5f dst.

            Suatu pengiriman data dg laju 2000 bps, dengan menggunakan bandwidth yang berbeda-beda. Jika menggunakan bandwidth 500 Hz, hasilnya bahkan tidak menyerupai pulsa bit sama sekali, bit satu tidak terbaca, karena sinyal yang dikirim hanya sinyal sinus dg frekwensi 500 Hz. Jika menggunakan bandwidth 1000 Hz, sinyal terkirim adalah sinyal sinus dg frekwensi 1000 Hz, masih memungkinkan utk dibaca tapi membutuhkan peralatan canggih utk bisa memulihkan bit-nya. Pada bandwidth 2000 Hz, sinyal terkirim sudah semakin mirip, dg peralatan yg baik bit 1 dan bit 0 dapat dikenali. Jika menggunakan bandwidth 4000 Hz, sinyal terkirim sangat mirip dengan aslinya, apalagi jika menggunakan bandwidth 6000 Hz.

Jadi bandwidth yang terbatas atau proses filter, akan berdampak pada tidak terkirimnya frekwensi harmoni yang lainya, jika sinyal hanya terkirim harmoni pertamanya saja maka hasilnya akan buruk. Kita dapat melihat pulsa kotak dibawah ini (gambar 2.6), dimana pulsa persegi/kotak merupakan penjumlahan dari frekwensi harmoni pertama, ketiga, kelima dst. Jika pulsa dg laju 2000 bps, dan bandwidth yg digunakan hanya 2000 Hz maka yg terkirim hanya harmoni pertamanya saja, jadi berupa sinyal sinus dg frekwensi 2000 Hz, Harmoni ketiga dan kelima tidak dapat terkirim, sinyal kurang mirip dg sinyal aslinya. Sinyal terkirim akan mendekati aslinya jika frekwensi harmoni ketiga dan kelima juga dikirim, artinya pengiriman membutuhkan bandwidth minimal 10.000 Hz. Itulah mengapa pada perlatan hi-fi suara musik sangat mendekati aslinya karena dia menggunakan jangkauan Bandwidth sampai 18.000 Hz.